Question

10．已知$x=\frac{π}{6}$是函数$f（x）=（{asinx+cosx}）cosx-\frac{1}{2}$图象的一条对称轴．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的单调增区间；
（3）作出函数f（x）在x∈[0，π]上的图象简图（列表，画图）．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数的倍角公式进行化简，结合三角函数的对称性建立方程关系进行求解即可．
（2）化简函数f（x），求出a的值，得出f（x）的解析式，从而求出f（x）的单调增区间；
（3）利用列表、描点、连线，画出函数f（x）在x∈[0，π]上的图象即可．

解答 解：（1）$f（x）=（{asinx+cosx}）cosx-\frac{1}{2}$=asinxcosx+cos²x-$\frac{1}{2}$=$\frac{a}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x，
则函数的最大值为$\sqrt{\frac{{a}^{2}}{4}+\frac{1}{4}}$，
若$x=\frac{π}{6}$是函数$f（x）=（{asinx+cosx}）cosx-\frac{1}{2}$图象的一条对称轴，
则|f（$\frac{π}{6}$）|=$\sqrt{\frac{{a}^{2}}{4}+\frac{1}{4}}$，
即|$\frac{a}{2}$sin$\frac{π}{3}$+$\frac{1}{2}$cos$\frac{π}{3}$|=|$\frac{a}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$|=|$\frac{\sqrt{3}a}{4}+\frac{1}{4}$|=$\sqrt{\frac{{a}^{2}}{4}+\frac{1}{4}}$，
平方得$\frac{{a}^{2}+1}{4}$=$\frac{3{a}^{2}}{16}$+$\frac{\sqrt{3}a}{8}$+$\frac{1}{16}$，
|整理得a²-2$\sqrt{3}$a+3=0，
即（a-$\sqrt{3}$）²=0，
解得a=$\sqrt{3}$．
（或者∵x=$\frac{π}{6}$是函数f（x）图象的一条对称轴，∴f（0）=f（$\frac{π}{3}$），
即$\frac{1}{2}$=$\frac{a}{2}$sin2（$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{2}$cos2（$\frac{π}{3}$），
解得a=$\sqrt{3}$）
（2）∵a=$\sqrt{3}$，
∴f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z
得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
即函数的单调递增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
（3）列表如下，

x	0	$\frac{π}{6}$	$\frac{5π}{12}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{11π}{12}$	π
2x+$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π	$\frac{13π}{6}$
f（x）	$\frac{1}{2}$	1	0	-1	0	$\frac{1}{2}$

画出函数f（x）在x∈[0，π]上的图象如图所示．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了五点法画正弦函数图象的应用问题，利用辅助角公式进行化简是解决本题的关键．．