Question

已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y-29=0相切．
（1）求圆的方程；
（2）若直线ax-y+5=0（a≠0）与圆相交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（-2，4）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．
由于圆与直线4x+3y-29=0相切，且半径为5，
所以

|4m-29|

5

=5，即|4m-29|=25．
即4m-29=25或4m-29=-25，
解得m=

27

2

或m=1，
因为m为整数，故m=1，
故所求的圆的方程是（x-1）²+y²=25；
（2）设符合条件的实数a存在，
∵a≠0，则直线l的斜率为-

1

a

，l的方程为y=-

1

a

(x+2)+4，即x+ay+2-4a=0．
由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上．
所以1+0+2-4a=0，解得a=

3

4

．
经检验a=

3

4

时，直线ax-y+5=0与圆有两个交点，
故存在实数a=

3

4

，使得过点P（-2，4）的直线l垂直平分弦AB．