Question

（2013•闵行区二模）已知f（x）=x|x-a|+b，x∈R．
（1）当a=1，b=0时，判断f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）当a=1，b=1时，若f(2x)=

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，求x的值；
（3）若b＜0，且对任何x∈[0，1]不等式f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（-1）≠f（1），f（-1）≠-f（1）即可判断当a=1，b=0时，f（x）=x|x-1|既不是奇函数也不是偶函数；
（2）依题意，解方程2^x|2^x-1|+1=

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即可，为了去掉方程中的绝对值符号需对x的取值范围分类讨论；
（3）依题意，只需考虑x∈（0，1]，此时原不等式变为|x-a|＜

-b

x

即可，转化为故(x+

b

x

)max＜a＜(x-

b

x

)min，x∈（0，1]，通过构造函数g（x）=x+

b

x

与h（x）=x-

b

x

，利用函数的单调性
结合对参数b的范围的讨论即可求得实数a的取值范围．

解答：[解]（1）当a=1，b=0时，f（x）=x|x-1|既不是奇函数也不是偶函数．…（2分）
∵f（-1）=-2，f（1）=0，
∴f（-1）≠f（1），f（-1）≠-f（1）
所以f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．…（2分）
（2）当a=1，b=1时，f（x）=x|x-1|+1，
由f（2^x）=

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得2^x|2^x-1|+1=

5

4

…（2分）
即

2x≥1 (2x)2-2x- 1 4 =0

或

2x＜1 (2x)2-2x+ 1 4 =0

…（2分）
解得2^x=

1+ 2

2

或2^x=

1- 2

2

（舍），或2^x=

1

2

，
所以x=log2

1+ 2

2

=log2(1+

2

)-1或x=-1．     …（2分）
（3）当x=0时，a取任意实数，不等式f（x）＜0恒成立，
故只需考虑x∈（0，1]，此时原不等式变为|x-a|＜

-b

x

即x+

b

x

＜a＜x-

b

x

…（2分）
故(x+

b

x

)max＜a＜(x-

b

x

)min，x∈（0，1]
又函数g（x）=x+

b

x

在（0，1]上单调递增，所以(x+

b

x

)max=g（1）=1+b；
对于函数h（x）=x-

b

x

，x∈（0，1]
①当b＜-1时，在（0，1]上h（x）单调递减，(x-

b

x

)min=h（1）=1-b，又1-b＞1+b，
所以，此时a的取值范围是（1+b，1-b）． …（2分）
②当-1≤b＜0，在（0，1]上，h（x）=x-

b

x

≥2

-b

，
当x=

-b

时，(x-

b

x

)min=2

-b

，此时要使a存在，
必须有

1+b＜2 -b -1≤b＜0

即-1≤b＜2

2

-3，此时a的取值范围是（1+b，2

-b

）
综上，当b＜-1时，a的取值范围是（1+b，1-b）；
当-1≤b＜2

2

-3时，a的取值范围是（1+b，2

-b

）；
当2

2

-3≤b＜0时，a的取值范围是∅．     …（2分）

点评：本题考查带绝对值的函数，着重考查方程思想与分类讨论思想的综合运用，考查构造函数与抽象思维及运算能力，属于难题．