Question

20．直线 l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R）被圆C：（x-1）²+（y-2）²=25 所截得的最短的弦长为4$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由题意可得直线l经过定点A（3，1）．要使直线l被圆C截得的弦长最短，需CA和直线l垂直，利用勾股定理可得结论．

解答 解：圆C：（x-1）²+（y-2）²=25的圆心C（1，2）、半径为5，
直线l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，即 m（2x+y-7）+（x+y-4）=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-7=0}\\{x+y-4=0}\end{array}\right.$，求得x=3，y=1，故直线l经过定点A（3，1）．
要使直线l被圆C截得的弦长最短，需CA和直线l垂直，|CA|=$\sqrt{（3-1）^{2}+（1-2）^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴最短的弦长为2$\sqrt{25-5}$=4$\sqrt{5}$．
故答案为4$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查直线过定点问题，直线和圆的位置关系，勾股定理，属于中档题．