Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=

1

2

AA1，点G为CC₁上的点，且CG=

1

4

CC1．求证：CD₁⊥平面ADG．

Answer 1

分析：有长方体的性质可得AD⊥平面CDD₁C₁，AD⊥CD₁．再根据tan∠DD₁C=tan∠CDG=

1

2

，可得∠DD₁C=∠CDG，
故有△DCO∽△D₁DC，∠D₁DC=

π

2

=∠COD，即DG⊥CD₁．再利用直线和平面垂直的判定定理证得CD₁⊥平面ADG．

解答：证明：在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，由于AD⊥平面CDD₁C₁，而CD₁?平面CDD₁C₁，∴AD⊥CD₁．
设CD₁∩DG=O，显然∠DCD₁=∠OCD．
由于AB=AD=

1

2

AA1，点G为CC₁上的点，且CG=

1

4

CC1，设AB=AD=1，
则DD₁=2，CG=

1

2

．
直角三角形DD₁C中，tan∠DD₁C=

CD

DD1

=

1

2

，
直角三角形CDG中，tan∠CDG=

CG

CD

=

1 2

1

=

1

2

，
∴∠DD₁C=∠CDG，∴△DCO∽△D₁DC，∴∠D₁DC=∠COD．
再由长方体中，∠D₁DC=

π

2

，∴∠COD=

π

2

，∴DG⊥CD₁．
这样，在平面平面ADG中，有两条相交直线都和CD₁垂直，故CD₁⊥平面ADG．

点评：本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用，直角三角形中的边角关系，属于中档题．