Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若角C＞

π

3

，

a

b

=

sinA

sin2C

，则关于△ABC的两个判断“①一定锐角三角形 ②一定是等腰三角形”中（　　）

• A、①②都正确
• B、①正确②错误
• C、①错误②正确
• D、①②都错误

Answer 1

分析：根据正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

化简已知的等式，由sinA不为0，得到sinB=sin2C，根据角C的范围及三角形的内角和定理得出A=C，根据等角对等边可得三角形ABC为等腰三角形，由A和C都为等腰三角形的底角，根据三角形的内角和定理得出顶角B也为锐角，从而得出三角形ABC为锐角三角形，得到关于三角形ABC两个判断都是正确的．

解答：解：

a

b

=

sinA

sin2C

?

sinA

sinB

=

sinA

sin2C

，
∵sinA≠0，∴sinB=sin2C，
因为

π

3

＜C＜π，
所以B=π-2C?B+C=π-C?π-A=π-C?A=C，
∴△ABC一定为等腰三角形，选项②正确；
且

π

3

＜C＜

π

2

，

π

3

＜A＜

π

2

，
∴0＜B＜

π

3

，即△ABC一定为锐角三角形，选项①正确．
故选A

点评：此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有正弦定理，正弦函数的图象与性质，等腰三角形的判定，学生做题时注意运用C的范围及三角形内角和定理这个隐含条件．