Question

设直线l的方程为y=kx-1，等轴双曲线C：x²-y²=a²（a＞0）的中心在原点，右焦点坐标为（ ，0）．
（1）求双曲线方程；
（2）设直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A，B，记AB中点为M，求k的取值范围，并用k表示M点的坐标．
（3）设点Q（-1，0），求直线QM在y轴上截距的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由右焦点坐标为（ ，0），可求出c的值，又因为等轴双曲线中a，b相等，利用双曲线中a，b，c的关系，就可求出a值，的到双曲线方程．
（2）联立直线与双曲线方程，消去y，得到关于x的一元二次方程，因为直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A，B，所以方程有两不同正根，△＞0，x₁+x₂＞0，x₁x₂＞0，据此就可求出k的范围．并用含k的式子表示M点坐标．
（3）利用两点式求出直线QM的方程，求出纵截距，用含k的式子表示，根据（2）中所求k的范围，即可得到纵截距的范围．
解答：解：（1）由条件，∵c²=a²+b²=2a²，∴a=1，
所以双曲线方程为x²-y²=1．                    
（2）由得（1-k²）x²+2kx-2=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
因此
解得，因此k∈（1，）
并且，
所以．                            
（3）直线MQ的方程为，
令x=0，得，
∵∴，∴
点评：本题主要考查了双曲线方程的求法，以及直线与双曲线相交，交点个数的判断．