Question

若（x²-

1

x

）ⁿ展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中x³的系数为

-126

（用数字作答）．

Answer 1

分析：由二项式系数的性质求得n=9，求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得展开式中x³的系数．

解答：解：由（x²-

1

x

）ⁿ展开式中的所有二项式系数和为512，可得2ⁿ=512，解得n=9．
故（x²-

1

x

）ⁿ展开式的通项公式为 T_r+1=

C

r 9

•x^18-2r•（-1）^r•x^-r=（-1）^r•

C

r 9

•x^18-3r，
令18-3r=3，解得 r=5，∴该展开式中x³的系数为-126，
故答案为-126．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．