Question

．（本小题满分16分）
已知椭圆上的一动点到右焦点的最短距离为，且右焦点到右准线的距离等于短半轴的长．（1）求椭圆的方程；
（2）设，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点；
（3）在（2）的条件下，过点的直线与椭圆交于两点，求的取值
范围．

Answer 1

解：（1）由题意知， 解得，
故椭圆的方程为．                 …………………………4分
（2）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为．
由 得．   ①
设点，，则．
直线的方程为．
令，得．
将，代入，
整理，得．    ②
由①得 ，代入②
整理，得．
所以直线与轴相交于定点．            …………………………10分
（3）当过点直线的斜率存在时，
设直线的方程为，，．
由 得．  
∴，， ．
则．
因为，所以．
所以．
当过点直线的斜率不存在时，其方程为．
解得，．
此时．
所以的取值范围是．             …………………………16分

略