Question

3．下列命题正确的是①②．
①在△ABC中，有A＞B?sinA＞sinB；
②已知$\overrightarrow{a}$=（2，3），$\overrightarrow{b}$=（-4，7），则$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$上的正射影的数量为$\frac{{\sqrt{65}}}{5}$；
③$\overrightarrow a$∥$\overrightarrow b$?存在唯一的实数λ∈R，使得$\overrightarrow b=λ\overrightarrow a$；
④函数y=sinx在第一象限为增函数；
⑤设点P分有向线段所成的比为$\frac{3}{4}$，则点P₁分$\overrightarrow{{P_2}P}$所成的比为$-\frac{3}{7}$．

Answer 1

分析 在△ABC中，结合正弦定理由A＞B?sinA＞sinB判断①正确；利用投影公式求出$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$上的正射影的数量判断②正确；举反例说明③④错误；由点P分有向线段所成的比为$\frac{3}{4}$，求出点P₁分$\overrightarrow{{P_2}P}$所成的比说明⑤错误．

解答 解：①在△ABC中，若sinA＞sinB成立，由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=2R$，得a＞b，即A＞B．
反之，若A＞B成立，∴a＞b，
∵a=2RsinA，b=2RsinB，∴sinA＞sinB，则sinA＞sinB是A＞B的充要条件，①正确；
②已知$\overrightarrow{a}$=（2，3），$\overrightarrow{b}$=（-4，7），则$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$上的正射影的数量为$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}=\frac{-4×2+3×7}{\sqrt{（-4）^{2}+{7}^{2}}}=\frac{\sqrt{65}}{5}$，②正确；
③$\overrightarrow a$∥$\overrightarrow b$?存在唯一的实数λ∈R，使得$\overrightarrow b=λ\overrightarrow a$不正确，例如当$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}$时，λ有无数多个；
④函数y=sinx在第一象限为增函数错误，如390°＞60°，但sin390°＜sin60°；
⑤设点P分有向线段所成的比为$\frac{3}{4}$，说明$\overrightarrow{{P}_{1}P}=\frac{3}{4}\overrightarrow{P{P}_{2}}$，则$\overrightarrow{{P}_{2}{P}_{1}}=-\frac{7}{3}\overrightarrow{{P}_{1}P}$，则点P₁分$\overrightarrow{{P_2}P}$所成的比为$-\frac{7}{3}$，⑤错误．
故答案为：①②．

点评 本题以向量，三角函数的性质为载体，考查了命题真假的判断，属于中档题．熟记三角与向量的有关公式和相关结论，是解好本题的关键．