Question

棱锥的底面是正三角形，边长为1，棱锥的一条侧棱与底面垂直，其余两条侧棱与底面所成角都等于，设D为BC中点．
（1）求这个棱锥的侧面积和体积；
（2）求异面直线PD与AB所成角的大小．

Answer 1

解：（1）∵PA⊥平面ABC，两条侧棱与底面所成角都等于，∴，
∵AB=AC=1，∴，…．（2分）
∵D为BC中点，∴PD⊥BC，∴，…．（3分）
∴，…．（5分）
…．（6分）
（2）取AC中点E，连接DE，

则DE∥AB，∴∠PDE为异面直线PD与AB所成角（或其补角）．…．（8分）
△PDE中，，…．（10分）
设∠PDE=θ，则，…．（12分）
因此异面直线PD与AB所成角的大小为．…．（14分）
分析：（1）棱锥的侧面积等于三个侧面的面积的和，体积利用即可求解；
（2）取AC中点E，连接DE，则∠PDE为异面直线PD与AB所成角（或其补角）．△PDE中，利用余弦定理可求异面直线PD与AB所成角的大小．
点评：本题考查棱锥的侧面积和体积，考查异面直线所成的角，考查学生的计算能力，属于中档题．