Question

已知函数f（x）满足，其中a＞0，a≠1．
（1）判断函数f（x）的单调性，并证明；
（2）若函数f（x）的定义域为（-1，1）时，有f（1-m）+f（1-m²）＜0，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（1）令log_ax=t，则x=a ^t
所以f（t）=（a^t-a^-t），
∴f（x）=（a^x-a^-x），
任取x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=[（a^x₁-a^-x₁）-（a^x₂-a^-x₂）]
=[（a^x₁-a^x₂）-（a^-x₂-a^-x₁）]
=[（a^x₁-a^x₂）（1+a^-x₂-a^-x₁）]
当a＞1时，f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x）为R上的增函数；
当0＜a＜1时，f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x）也为R上的增函数；
（2）定义域关于原点对称，f（-x）=（a^-x-a^x）=-f（x），
所以f（x）为奇函数．
因为函数f（x）的定义域是（-1，1）
所以有-1＜1-m＜1 ①
-1＜1-m²＜1 ②
又f（x）是奇函数，所以f（1-m）+f（1-m²）＞0可变为f（1-m）＞f（m²-1）
又f（x）在（-1，1）内是减函数，所以1-m＜m²-1 ③
由①、②、③得 ．
分析：（1）令log_ax=t，则x=a ^t得到f（x）=（a^x-a^-x），任取x₁＜x₂，计算f（x₁）-f（x₂），然后根据指数函数的单调性，建立不等关系，化简即可得到f（x₁）与f（x₂）大小关系，从而得到函数的单调性．
（2）根据定义域先建立两个不等关系式，再结合函数的单调性和奇偶性建立关系式，解之即可．
点评：本题主要考查了函数单调性与奇偶性的应用，以及不等式的求解，属于中档题．