Question

【题目】若F1，F2是双曲线的两个焦点

(1)若双曲线上一点M到左焦点F1的距离等于7，求点M到右焦点F2的距离；

(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根据双曲线的定义解答；

（2）利用双曲线的方程求得|F1F2|和|PF1|﹣|PF2|，进而利用配方法求得|PF1|2+|PF2|2的值代入余弦定理求得cos∠F1PF2 的值进而求得∠F1PF2从而得到三角形的面积.

解：(1)由双曲线的定义得||MF1|－|MF2||＝2a＝6，

又双曲线上一点M到它左焦点的距离等于7，假设点M到右焦点的距离等于x，

则|7－x|＝6，解得x＝1或x＝13.

由于c－a＝5－3＝2,1<2,13>2，

故点M到另一个焦点的距离为13.

(2)将||PF2|－|PF1||＝2a＝6，两边平方得

|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，

∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.

在△F1PF2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝

＝＝0，

∴∠F1PF2＝90°，

∴△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝×32＝16.