Question

设{a_n}是集合{2^s+2^t|0≤s＜t，且s，t∈Z}中所有的数从小到大排列成的数列，即a₁=3，a₂=5，a₃=6，a₄=9，a₅=10，a₆=12…，将数列{a_n}中各项按照上小下大，左小右大的原则排成如下等腰直角三角形数表：
3
5   6
9   10   12
…
则第四行四个数分别为

 

；且a₂₀₁₂=

 

（用2^s+2^t形式表示）．

Answer 1

分析：根据题意，可归纳出第i行的i个数是2⁰+2ⁱ，2¹+2ⁱ，2²+2ⁱ，…，2^i-1+2ⁱ，由此即可给出出第四行四个数．再由等差数列求和公式，得出a₂₀₁₂是第63行的第59个数，结合前面总结出的规律则不难得到a₂₀₁₂的表达式．

解答：解：由3=2⁰+2¹，
5=2⁰+2²，6=2¹+2²，
9=2⁰+2³，10=2¹+2³，3=2²+2³，
…
可得第i行的i个数是2⁰+2ⁱ，2¹+2ⁱ，2²+2ⁱ，…，2^i-1+2ⁱ，（i∈N^*）
由此可得第四行四个数：2⁰+2⁴=17，2¹+2⁴=18，2²+2⁴=20，2³+2⁴=24，
设a₂₀₁₂在第k行，解不等式1+2+3+…+k≥2012
即

1

2

k（k+1）≥2012，得满足条件的最小正整数k=63
∴a₂₀₁₂在第63行，
由

1

2

×62×63+1=1954，得第63行第一个数为a₁₉₅₄，
∵2012=1954+58，∴a₂₀₁₂=2⁵⁸+2⁶³
故答案为：17，18，20，24；2⁵⁸+2⁶³

点评：本题给出三角形数阵，要求我们找出其中的规律并给出a₂₀₁₂的表达式，着重考查了等差数列的通项与求和、数列的函数特性等知识，属于中档题．