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已知f(x)=|
1|x-1|-1
|
,且关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有k(k∈N*)个根,则这k个根的和可能是
2、3、4、5、6、7、8
2、3、4、5、6、7、8
.(请写出所有可能值)
分析:关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有根,则方程t2+bt+c=0必有正根,根据绝对值的性质,我们分别讨论若方程t2+bt+c=0有两个相等的正根α,且0<α<1时,α=1时,α=1时;
若方程t2+bt+c=0有两个不等的正根α,β,且0<α<1,0<α<1,β=1时,0<α<1,β>1时,α=1,0<β<1时,α=1,β=1时,α=1,β>1时,α>1,0<β<1时,α>1,β=1时,α>1,β>1时,方程根的个数及和的值,即可得到答案.
解答:解:若关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有k(k∈N*)个根,
令t=f(x),则方程t2+bt+c=0必有正根
若方程t2+bt+c=0有两个相等的正根α
当0<α<1时,f(x)=|
1
|x-1|-1
|
=α,|x-1|=1+
1
α
,此时关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有2个根,2根之和为2;
当α=1时,f(x)=|
1
|x-1|-1
|
=1,|x-1|=2,或|x-1|=0,此时关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有3个根,3根之和为3;
当α=1时,f(x)=|
1
|x-1|-1
|
=α,|x-1|=1±
1
α
,此时关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有4个根,4根之和为4;
若方程t2+bt+c=0有两个不等的正根α,β
当0<α<1,0<β<1时,此时关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有4个根,4根之和为4;
当0<α<1,β=1时,此时关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有5个根,5根之和为5;
当0<α<1,β>1时,此时关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有6个根,6根之和为6;
当α=1,0<β<1时,此时关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有5个根,5根之和为5;
当α=1,β=1时,此时关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有6个根,6根之和为6;
当α=1,β>1时,此时关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7个根,7根之和为7;
当α>1,0<β<1时,此时关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有6个根,6根之和为6;
当α>1,β=1时,此时关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7个根,7根之和为7;
当α>1,β>1时,此时关于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有8个根,8根之和为8;
故答案为:2、3、4、5、6、7、8
点评:本题考查的知识点是带绝对值的函数,函数的零点与方程根的关系,其中分类讨论是解答此类复杂问题最常用的方法,而本题中根据函数的解析式,确定分类标准是解答本题的关键.
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+
1-cosx-sinx
1-sinx+cosx
.  
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