Question

已知△ABC的三个内角A，B，C的对边依次为a，b，c，外接圆半径为1，且满足

tanA

tanB

=

2c-b

b

，则△ABC面积的最大值为

 

．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：计算题,解三角形

分析：利用同角三角函数间的基本关系化简已知等式的左边，利用正弦定理化简已知的等式右边，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0，可得出cosA的值，然后利用余弦定理表示出cosA，根据cosA的值，得出bc=b²+c²-a²，再利用正弦定理表示出a，利用特殊角的三角函数值化简后，再利用基本不等式可得出bc的最大值，进而由sinA的值及bc的最大值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC面积的最大值．

解答： 解：由r=1，利用正弦定理可得：c=2rsinC=2sinC，b=2rsinB=2sinB，
∵tanA=

sinA

cosA

，tanB=

sinB

cosB

，
∴

tanA

tanB

=

sinAcosB

cosAsinB

=

4sinC-2sinB

2sinB

=

2sinC-sinB

sinB

，
∴sinAcosB=cosA（2sinC-sinB）=2sinCcosA-sinBcosA，
即sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC=2sinCcosA，
∵sinC≠0，∴cosA=

1

2

，即A=

π

3

，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，
∴bc=b²+c²-a²=b²+c²-（2rsinA）²=b²+c²-3≥2bc-3，
∴bc≤3（当且仅当b=c时，取等号），
∴△ABC面积为S=

1

2

bcsinA≤

1

2

×3×

3

2

=

3 3

4

，
则△ABC面积的最大值为：

3 3

4

．
故答案为：

3 3

4

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，三角形的面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．