Question

【题目】已知数列{an}的首项为a1=1，且 ，（n∈N*）．
（1）求a2 ， a3的值，并证明：a2n﹣1＜a2n+1＜2；
（2）令bn=|a2n﹣1﹣2|，Sn=b1+b2+…+bn ． 证明： ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a1=1， ，

∴ ，a3= ；

下证：a2n﹣1＜a2n+1＜2．

一方面， ，

所以 ，

由题可知an＞0，所以 ，即an+1﹣2与an﹣2异号，

故an+2﹣2与an﹣2同号，于是a2n+1﹣2与a2n﹣1﹣2同号，

又∵a1﹣2=﹣1＜0，∴a2n+1＜2；

另一方面，

由a2n﹣1＜2知a2n+1﹣a2n﹣1＞0，即a2n+1＞a2n﹣1，

综上所述：a2n﹣1＜a2n+1＜2；

（2）证明： ，

由bn=|a2n﹣1﹣2|知 ，

又1≤a2n﹣1＜a2n+1＜2，所以 ，

而b1=1，所以当n≥2时 ，

同理可知： ，

故Sn=b1+b2+…+bn ，

，

综上：

【解析】（1）通过a1=1， 计算求出a2 ， a3的值；一方面，利用 整理可知a2n+1﹣2与a2n﹣1﹣2同号，进而可知a2n+1＜2；另一方面，通过作差计算可知a2n+1＞a2n﹣1 ， 从而可得结论；（2）利用 计算可知 ，结合1≤a2n﹣1＜a2n+1＜2可知 ，利用累乘法可知 ≤bn＜ ，进而利用等比数列的求和公式计算即得结论．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．