Question

（2013•南通一模）已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的一个焦点与圆x²+y²-10x=0的圆心重合，且双曲线的离心率等于

5

，则该双曲线的标准方程为

x2

5

-

y2

20

=1

．

Answer 1

分析：将圆化成标准方程得圆x²+y²-10x=0的圆心为F（5，0），可得c=

a2+b2

=5，结合双曲线的离心率e=

c

a

=

5

算出a=

5

，由平方关系得到b²=20，由此即可得出该双曲线的标准方程．

解答：解：∵圆x²+y²-10x=0化成标准方程，得（x-5）²+y²=25
∴圆x²+y²-10x=0的圆心为F（5，0）
∵双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的一个焦点为F（5，0），且的离心率等于

5

，
∴c=

a2+b2

=5，且

c

a

=

5

因此，a=

5

，b²=c²-a²=20，可得该双曲线的标准方程为

x2

5

-

y2

20

=1
故答案为：

x2

5

-

y2

20

=1

点评：本题给出双曲线的离心率，并且一个焦点为已知圆的圆心，求双曲线的标准方程，着重考查了圆的标准方程、双曲线的基本概念和简单几何性质等知识，属于基础题．