Question

已知AB是椭圆的长轴，若把该长轴n等分，过每个等分点作AB的垂线，依次交椭圆的上半部分于点P₁，P₂，…，P_n-1，设左焦点为F₁，则=    ．

Answer 1

【答案】分析：由椭圆的定义可得|F₁P_i|+|F₂P_i|=2a=4，由此求得|F₁P₁|+…+|F₁P_n-1|的值，而|F₁A|+|F₁B|=2a=4，从而求得|F₁A|+|F₁P₁|+…+|F₁P_n-1|+|F₁B|的值，代入要求的式子求出结果．
解答：解：设右焦点为F₂，由椭圆的定义可得|F₁P_i|+|F₂P_i|=2a=4，
由题意知 点P₁，P₂，…，P_n-1 关于y轴成对称分布，
∴|F₁P₁|+…+|F₁P_n-1|==2（n-2），
而|F₁A|+|F₁B|=2a=4，
故|F₁A|+|F₁P₁|+…+|F₁P_n-1|+|F₁B|=2n-4+4=2n，
∴==2，
故答案为：2．
点评：本题考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，求数列的极限，求出故|F₁A|+|F₁P₁|+…+|F₁P_n-1|+|F₁B|=2n 是解题的关键和难点，属于难题．