Question

【题目】德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）= ，称为狄利克雷函数，则关于函数f（x）有以下四个命题： ①f（f（x））=1；
②函数f（x）是偶函数；
③任意一个非零有理数T，f（x+T）=f（x）对任意x∈R恒成立；
④存在三个点A（x1 ， f（x1）），B（x2 ， f（x2）），C（x3 ， f（x3）），使得△ABC为等边三角形．
其中真命题的个数是（ ）
A.4
B.3
C.2
D.1

Answer 1

【答案】A
【解析】解：①∵当x为有理数时，f（x）=1；当x为无理数时，f（x）=0， ∴当x为有理数时，ff（（x））=f（1）=1；当x为无理数时，f（f（x））=f（0）=1，
即不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1，故①正确；
②∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，
∴对任意x∈R，都有f（﹣x）=f（x），故②正确；
③若x是有理数，则x+T也是有理数；若x是无理数，则x+T也是无理数，
∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对x∈R恒成立，故③正确；
④取x1=﹣ ，x2=0，x3= ，可得f（x1）=0，f（x2）=1，f（x3）=0，
∴A（ ，0），B（0，1），C（﹣ ，0），恰好△ABC为等边三角形，故④正确．
即真命题的个数是4个，
故选：A．
①根据函数的对应法则，可得不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1；
②根据函数奇偶性的定义，可得f（x）是偶函数；
③根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质；
④取x1=﹣ ，x2=0，x3= ，可得A（ ，0），B（0，1），C（﹣ ，0），三点恰好构成等边三角形．