设函数,其中为常数。
(Ⅰ)当时,判断函数在定义域上的单调性;
(Ⅱ)若函数有极值点,求的取值范围及的极值点。
(Ⅰ)当时, ,函数在定义域上单调递增.
(Ⅱ)当且仅当时有极值点;
当时,有惟一最小值点;
当时,有一个极大值点和一个极小值点
(Ⅰ)由题意知,的定义域为, ……… 1分
……… 2分
∴当时, ,函数在定义域上单调递增. ………………3分
(Ⅱ)①由(Ⅰ)得,当时,函数无极值点.………… 4分
②时,有两个相同的解,
但当时,,当时,
时,函数在上无极值点. ………………5分
③当时,有两个不同解,
时,,
而,
此时 ,随在定义域上的变化情况如下表:
减 | 极小值 | 增 |
由此表可知:当时,有惟一极小值点,… 8分
ii) 当时,0<<1
此时,,随的变化情况如下表:
增 | 极大值 | 减 | 极小值 | 增 |
由此表可知:时,有一个极大值和一个极小值点; ………………………………11分
综上所述:
当且仅当时有极值点;
当时,有惟一最小值点;
当时,有一个极大值点和一个极小值点………12分
科目:高中数学 来源:2014届山西省高三第一学期8月月考理科数学试卷(解析版) 题型:解答题
设函数,其中为常数。
(Ⅰ)当时,判断函数在定义域上的单调性;
(Ⅱ)若函数有极值点,求的取值范围及的极值点。
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科目:高中数学 来源:2014届山西省高三第一学期8月月考文科数学试卷(解析版) 题型:解答题
设函数,其中为常数。
(Ⅰ)当时,判断函数在定义域上的单调性;
(Ⅱ)若函数有极值点,求的取值范围及的极值点。
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科目:高中数学 来源:2010-2011学年江西省高三10月月考文科数学卷 题型:解答题
设函数,其中为常数.
(1)证明:对任意,的图象恒过定点;
(2)当时,判断函数是否存在极值?若存在,证明你的结论并求出所有
极值;若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源:2010-2011学年广东省高三上学期10月月考理科数学卷 题型:解答题
(本小题满分14分)20. (14分)设函数,其中为常数.
(1)当时,判断函数在定义域上的单调性;
(2)若函数的有极值点,求的取值范围及的极值点;
(3)求证对任意不小于3的正整数,不等式都成立.
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