Question

10．通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间，讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f（x）表示学生掌握和接受概念的能力（f（x）的值越大，表示接受能力越强），x表示提出和讲授概念的时间（单位：分），可以有以下公式：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-0.1{x}^{2}+2.6x+43（0＜x≤10）}\\{59（10＜x≤16）}\\{-3x+107（16＜x≤30）}\end{array}\right.$
（1）开讲多少分钟后，学生的接受能力最强？能维持多少分钟？
（2）开讲5分钟与开讲20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？
（3）一个数学难题，需要55的接受能力以及13分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？

Answer 1

分析 （1）通过分别求出当0＜x≤10、10＜x≤16、x＞16时各自f（x）的最大值即得结论；
（2）通过计算f（5）与f（20）的大小即得结论；
（3）通过令f（x）=55，计算出0＜x≤10、x＞16时各自的解并比较两个解的差的绝对值与13的大小关系即可．

解答 解：（1）依题意，①当0＜x≤10时，f（x）=-0.1x²+2.6x+43=-0.1（x-13）²+59.9，
故f（x）在0＜x≤10时递增，最大值为f（10）=-0.1（10-13）²+59.9=59，
②当10＜x≤16时，f（x）≡59，
③当x＞16时，f（x）为减函数，且f（x）＜59，
因此，开讲10分钟后，学生达到最强接受能力（为59），能维持6分钟时间．
（2）∵f（5）=-0.1（5-13）²+59.9=53.5，
f（20）=-3×20+107=47＜53.5，
∴开讲5分钟时学生的接受能力比开讲20分钟时要强一些．
（3）当0＜x≤10时，令f（x）=55，解得x=6或20（舍），
当x＞16时，令f（x）=55，解得x=17$\frac{1}{3}$，
因此学生达到（含超过）55的接受能力的时间为17$\frac{1}{3}$-6=11$\frac{1}{3}$＜13，
∴老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题．

点评 本题考查函数模型的性质与应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．