Question

定义在定义域D内的函数y=f（x），若对任意的x₁、x₂∈D都有|f（x₁）-f（x₂）|＜1，则称函数y=f（x）为“妈祖函数”，否则称“非妈祖函数”．试问函数f（x）=x³-x+α（x∈[-1，1]，α∈R）是否为“妈祖函数”？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由．

Answer 1

分析：解：根据|f（x₁）-f（x₂）|＜|f（x）_max-f（x）_min|，我们只要求得函数的最大值和最小值，看差的绝对值是否小于1即可，因为函数f（x）=x³-x+a（x∈[-1，1]，a∈R]是高次函数，所以用导数法来求其最大值和最小值即可．

解答：解：因为|f（x₁）-f（x₂）|＜|f_max-f_min|，
函数f（x）=x³-x+a（x∈[-1，1]，a∈R]导数是f′（x）=3x²-1
当3x²-1=0时，即x=±

3

3

，当0＜x＜

3

3

时，f′（x）=3x²-1＜0，当x＞

3

3

时，
f′（x）=3x²-1＞0，故f（x）在x∈[0，1]内的极小值是a-

2 3

9

，同理，
f（x）在[-1，0]内的极大值是a+

2 3

9

，因为f（1）=f（-1）=a，
所以函数f（x）=x³-x+a（x∈[-1，1]，a∈R]的最大值是a+

2 3

9

，最小值是a-

2 3

9

，
故|f（x₁）-f（x₂）|＜|f_max-f_min|=

4 3

9

＜1
所以函数f（x）=x³-x+a（x∈[-1，1]，a∈R]是“妈祖函数”．（2分）

点评：本题是一道新定义题，要理清定义的条件和结论，将问题转化为已知的去解决，主要涉及了恒成立问题，函数的最值求法等．