Question

如图，平面直角坐标系xOy中，△AOB和△COD为两等腰直角三角形，A（-2，0），C（a，0），（a＞0），设△AOB和△COD的
外接圆圆心分别为点M、N．
（Ⅰ）若⊙M与直线CD相切，求直线CD的方程；
（Ⅱ）若直线AB截⊙N所得弦长为4，求⊙N的标准方程．

Answer 1

分析：先根据条件求圆的标准方程，再，利用直线与圆相切时，点线距离等于半径长求解；（2）利用圆心N到直线l_AB距离及直线l_AB截⊙N的所得弦长为4，可求圆的标准方程．

解答：解（Ⅰ）圆心M（-1，1），∴圆M方程为（x+1）²+（y-1）²=2，直线 l_CD方程为x+y-a=0
∵⊙M与直线l_CD相切，∴圆心 M到直线l_CD的距离d=

|-a|

2

=

2

，
∴|a|=2，又a＞0，a=2
∴直线l_CD的方程为x+y-2=0；
（Ⅱ）直线l_AB方程为：x-y+2=0，圆心N(

a

2

，

a

2

)，
∴圆心N到直线l_AB距离为

| a 2 - a 2 +2|

2

=

2

，
∵直线l_AB截⊙N的所得弦长为4
∴22+(

2

)2=

a2

2

，∴a²=12，又a＞0，a=2

3

∴⊙N的标准方程为(x-

3

)2+(y-

3

)2=6

点评：本题主要考查直线与圆的位置关系，解题时利用点线距离，半径及弦长的一般构造的直角三角形是解题的关键