Question

18．集合A={x|mx²-x≤0，m∈R}，B={x|2mx²-2m（1-m）x+1≥0，m∈R}，若A∪B=R，则实数m的取值范围是[0，2]．

Answer 1

分析 当m为0时，分别代入两解集中的不等式中，确定出A与B，满足两集合的并集为R；当m不为0时，易得m大于0，设f（x）=2mx²-2m（1-m）x+1，其图象开口向上的抛物线，当根的判别式小于等于0时，不等式恒成立，列出关于m的不等式，求出不等式的解集得到m的范围，此时B为R，满足题意，综上，得到满足题意的m范围．

解答 解：解：当m=0时，A=[0，+∞），B=R，A∪B=R；
当m≠0时，易得m＞0，设f（x）=2mx²-2m（1-m）x+1，
令△=b²-4ac=[-2m（1-m）]²-4×2m×1=4m²（1-2m+m²）-8m=4m⁴-8m³+4m²-8m=4m（m²+1）（m-2）≤0，
∵m²+1＞0，∴m（m-2）≤0，
解得：0＜m≤2，
此时2mx²-2m（1-m）x+1≥0恒成立，即集合B=R，可得A∪B=R，
综上，m的取值范围是[0，2]．
故答案为：[0，2]．

点评 此题考查了并集及其运算，二次函数的性质，以及不等式恒成立的条件，熟练掌握并集的定义是解本题的关键，是中档题．