Question

.数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，总有成等差数列.(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)设数列的前项和为 ，且，求证:对任意实数（是常数，＝2.71828）和任意正整数，总有 2；(Ⅲ) 正数数列中，.求数列中的最大项.

Answer 1

(Ⅰ)   (Ⅱ)  略 （Ⅲ）

（Ⅰ）解：由已知：对于，总有 ①成立∴ 
（n ≥ 2）② …1分
①--②得∴
∵均为正数，∴（n ≥ 2） ∴数列是公差为1的等差数列…3分又n=1时，， 解得=1∴.()  …5分
（Ⅱ）证明：∵对任意实数和任意正整数n，总有≤.……6分
∴
 …9分
(Ⅲ)解：由已知 ，

易得　猜想 n≥2 时，是递减数列. …11分
令
∵当
∴在内为单调递减函数.
由.
∴n≥2 时, 是递减数列.即是递减数列.
又 , ∴数列中的最大项为.…13分