Question

如图，已知A是椭圆上的一个动点，F₁，F₂分别为椭圆的左、右焦点，弦AB过点F₂，当AB⊥x轴时，恰好有|AF₁|=3|AF₂|．
（1）求椭圆的离心率；
（2）设P是椭圆的左顶点，PA，PB分别与椭圆右准线交与M，N两点，求证：以MN为直径的圆D一定经过一定点，并求出定点坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中AB⊥x轴时恰有|AF₁|=3|AF₂|．结合椭圆的定义，可得，进而求出椭圆的离心率；
（2）由（1）可设椭圆方程为x²+2y²=2b²，其右准线方程为x=2b，分AB⊥x轴时和AB斜率存在时两种情况分别判断F₂与MN为直径的圆D的关系，即可得到答案．
解答：解：（1）由条件可得，
解得…．（3分）
证明：（2）由（1）可设椭圆方程为x²+2y²=2b²，其右准线方程为x=2b，
①当AB⊥x轴时，易得，
由三点共线可得M（2b，b），N（2b，-b）
则圆D的方程为（x-2b）（x-2b）+（y-b）（y+b）=0，
即（x-2b）²+y²=b²
易得圆过定点F₂（b，0）…（6分）
②当AB斜率存在时，设其方程为y=kx-kb，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
把直线方程代入椭圆方程得：（1+2k²）x²-4k²bx+（2k²-2）b²=0∴，
故直线AP的方程为，
令x=2b得，同理可得…（9分）
∴，•=
所以F₂在以MN为直径的圆D上，
综上，以MN为直径的圆D一定经过定点F₂（b，0）…．（13分）
点评：本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的综合应用，椭圆的性质，圆的标准方程，综合性强，难度较大．