Question

在△ABC中，三边a，c，b成等差，则sinA的范围是

[

3

2

，1）

．

Answer 1

分析：利用等差数列的性质可知2c=a+b，利用余弦定理表示出cosC，然后把b=

1

2

（a+c）代入，利用基本不等式即可求出cosC的最小值，根据C的范围及余弦函数在此区间为减函数即可得到A的范围，即可求

解答：解：由三边成等差数列可知：c=

a+b

2

由余弦定理得：cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

a2+b2-( a+b 2 )2

2ab

=

3(a2+b2)-2ab

8ab

≥

6ab-2ab

8ab

=

1

2

，
当且仅当a=b时取等号，此时A=B
又C∈（0，π），且余弦函数在此区间为减函数，
所以C∈（0，

1

3

π]
所以，2A=A+B∈[

2π

3

，π)
所以A∈[

1

3

π，

1

2

π)，sinA∈[

3

2

，1）
故答案为：[

3

2

，1）

点评：此题考查学生灵活运用余弦定理化简求值，掌握余弦函数的图象与性质，灵活运用基本不等式求函数的最大值，是一道综合题．