Question

已知函数f（x）=a•e^x+．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若对于任意的x∈（0，+∞），恒有f（x）≥0成立，求a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）当a=1时，f（x）=e^x+-4，∴f′（x）=e^x-，∴f′（1）=e-2，
∵f（1）=e-2，
∴f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：（e-2）x-y=0．
（Ⅱ）∵f（x）=a•e^x+．
∴f′（x）=，
令g（x）=ax²e^x-（a+1），则g′（x）=ax（2+x）e^x＞0，
∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，
∵g（0）=-（a+1）＜0，当x→+∞时，g（x）＞0，
∴存在x₀∈（0，+∞），使g（x₀）=0，且f（x）在（0，x₀）上单调递减，f（x）在（x₀，+∞）上单调递增，
∵g（x₀）=-（a+1）=0，∴=a+1，即=，
∵对于任意的x∈（0，+∞），恒有f（x）≥0成立，
∴f（x）_min=f（x₀）=+-2（a+1）≥0，∴-2（a+1）≥0，
∴，∴0，解得-≤x₀≤1，
∵=a+1，∴=＞1，
令h（x₀）=，而h（0）=0，当x₀→+∞时，h（x₀）→+∞，
∴存在m∈（0，+∞），使h（m）=1，
∵h（x₀）=在（0，+∞）上，∴x₀＞m，
∴m＜x₀≤1，
∵h（x₀）=在（m，1]上∴h（m）＜h（x₀）≤h（1），
∴1＜≤e，∴a≥．
分析：（Ⅰ）当a=1时求出f（x），求导f′（x），切线斜率k=f′（1），f（1）=e-2，利用点斜式即可求得切线方程；
（Ⅱ）对于任意的x∈（0，+∞），恒有f（x）≥0成立，等价于f（x）_min≥0，利用导数判断函数f（x）的单调性、极值，从而确定其最小值，其中为判定导数符号需要构造函数．
点评：本题考查曲线上某点处切线方程的求解及函数恒成立问题，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，正确理解导数的几何意义是关键，至于恒成立问题常常转化为函数最值处理，本题综合性强，难度大．