【题目】已知函数,().
(Ⅰ)若函数有且只有一个零点,求实数的取值范围;
(Ⅱ)设,若,若函数对恒成立,求实数的取值范围.(是自然对数的底数,)
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)首先确定函数定义域为,求出导数;当时,可知函数单调递增,根据可知满足题意;当时,可求得导函数的零点;当零点可知满足题意;当或结合函数的单调性和零点存在性定理可判断出存在不止一个零点,不满足题意;综合上述情况得到结果;(Ⅱ)当时,可知,得到,满足题意;当时,根据符号可知单调递增,由零点存在性定理可验证出,使得,从而得到在上单调递减,则,不满足题意,从而得到结果.
(Ⅰ)由题意得:定义域为,则
①当时,恒成立 在上单调递增
又 有唯一零点,即满足题意
②当时
当时,;当时,
即在上单调递减,在上单调递增
⑴当,即时,,有唯一零点,满足题意
⑵当,即时,
又,且
,使得,不符合题意
⑶当,即时,
设,,则
在上单调递增 ,即
又 ,使得,不符合题意
综上所述:的取值范围为:
(Ⅱ)由题意得:,则,
①当时,由得:恒成立
在上单调递增
即满足题意
②当时,恒成立 在上单调递增
又,
,使得
当时,,即在上单调递减
,则不符合题意
综上所述:的取值范围为:
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【题目】设直线l的方程为(a﹣1)x+y+a+3=0,(a∈R).
(1)若直线l在两坐标轴上截距的绝对值相等,求直线l的方程;
(2)若直线l不经过第一象限,求实数a的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】“读书可以让人保持思想活跃,让人得到智慧启发,让人滋养浩然之气”,2018年第一期中国青年阅读指数数据显示,从供给的角度,文学阅读域是最多的,远远超过了其他阅读域的供给量.某校采用分层抽样的方法从1000名文科生和2000名理科生中抽取300名学生进行了在暑假阅读内容和阅读时间方面的调查,得到数据如表:
文学阅读人数 | 非文学阅读人数 | 调查人数 | |
理科生 | 130 | ||
文科生 | 45 | ||
合计 |
(1)先完成上面的表格,并判断能否有90%的把握认为学生所学文理与阅读内容有关?
(2从300名被调查的学生中,随机进取30名学生,整理其日平均阅读时间(单位:分钟)如表:
阅读时间 | |||||
男生人数 | 2 | 4 | 3 | 5 | 2 |
女生人数 | 1 | 3 | 4 | 3 | 3 |
试估计这30名学生日阅读时间的平均值(同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)
(3)从(2)中日均阅读时间不低于120分钟的学生中随机选取2人介绍阅读心得,求这两人都是女生的概率.
参考公式: ,其中.
参考数据:
| 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】如图,在三棱锥P﹣ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,PA=AB,D为PB中点,PC=3PE.
(1)求证:平面ADE⊥平面PBC;
(2)在AC上是否存在一点M,使得MB∥平面ADE?若存在,请确定点M的位置,并说明理由.
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【题目】已知两点A(0,﹣1),B(0,1),直线PA,PB相交于点P,且它们的斜率之积是,记点P轨迹为C.
(1)求曲线C的轨迹方程;
(2)直线l与曲线C交于M,N两点,若|AM|=|AN|,求直线l的斜率k的取值范围.
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为,离心率为,直线与的两个交点间的距离为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)分别过作满足,设与的上半部分分别交于两点,求四边形面积的最大值.
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【题目】某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行了抽样调查,调查结果如下表所示:
喜欢甜品 | 不喜欢甜品 | 合计 | |
南方学生 | 60 | 20 | 80 |
北方学生 | 10 | 10 | 20 |
合计 | 70 | 30 | 100 |
根据表中数据,问是否有的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”;
已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生,其中2名喜欢甜品,现在从这5名学生中随机抽取3人,求至多有1人喜欢甜品的概率.
附:
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(其中为参数)曲线的普通方程为,以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线和曲线的极坐标方程;
(2)射线:依次与曲线和曲线交于、两点,射线:依次与曲线和曲线交于、两点,求的最大值.
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