Question

（2012•安徽模拟）如图，已知三点A，B，E在平面α内，点C，D在α外，并且AC⊥α，DE⊥α，BD⊥AB．若AB=3，AC=BD=4，CD=5，则BD与平面α所成的角等于（　　）

A．30°

B．45°

C．60°

D．16°

Answer 1

分析：根据DE⊥α，可得∠DBE是直线BD与平面α所成的角，然后过点D作DF⊥AC于F，连接AD，AE，可以证明出四边形AEDF为矩形，从而DE=AF．接下来用勾股定理计算出AD=5=CD，从而得到DF是△ACD的中线，即AF=CF=

1

2

AC=2，最后在Rt△BDE中，利用三角函数的定义得到sin∠DBE=

DE

DB

=

1

2

，所以∠DBE=30°，可得直线BD与平面α所成的角等于30°．

解答：解：∵DE⊥α，
∴BE即为BD在平面α内的射影，
可得∠DBE是直线BD与平面α所成的角
过点D作DF⊥AC于F，连接AD，AE
∵AC⊥α，DE⊥α，
∴AC∥DE，且∠AED=∠FAE=∠DFA=90°
可得四边形AEDF为矩形
∴DE=AF
∵BD⊥AB
∴Rt△ABD中，AD=

AB2+BD2

=

32+44

=5
∵△ACD中，CD=AD=5
∴DF是中线，即AF=CF=

1

2

AC=2
∴Rt△BDE中，BD=4，DE=2
可得sin∠DBE=

DE

DB

=

1

2

∴∠DBE=30°，即直线BD与平面α所成的角等于30°
故选A

点评：本题借助于求一条直线与一个平面所成角为载体，考查了直线与平面垂直的性质、直线与平面所成角的定义和直角三角形中求三角函数值等知识点，属于中档题．