【题目】已知函数.
(1)求函数的极值;
(2)对于曲线上的不同两点,如果存在曲线上的点,且使得曲线在点处的切线,则称为弦的伴随直线,特别地,当时,又称为的—伴随直线.
①求证:曲线的任意一条弦均有伴随直线,并且伴随直线是唯一的;
②是否存在曲线,使得曲线的任意一条弦均有—伴随直线?若存在,给出一条这样的曲线,并证明你的结论;若不存在,说明理由.
【答案】(Ⅰ)…………………………………… 2分
当,,函数在内是增函数,
∴函数没有极值。 ……………………………… 3分
当时,令,得。
当变化时,与变化情况如下表:
+ | 0 | - | |
单调递增 | 极大值 | 单调递减 |
∴当时,取得极大值。
综上,当时,没有极值;
当时,的极大值为,没有极小值。 ……………5分
(Ⅱ)(ⅰ)设是曲线上的任意两点,要证明
有伴随切线,只需证明存在点,使得
,且点不在上。 ……………………7分
∵,即证存在,使得,即成立,且点不在上。 …………………8分
以下证明方程在内有解。
记,则。
令,
∴,
∴在内是减函数,∴。
取,则,即。……9分
同理可证。∴。
∴函数在内有零点。
即方程在内有解。………………10分
又对于函数取,则
可知,即点Q不在上。
是增函数,∴的零点是唯一的,
即方程在内有唯一解。
综上,曲线上任意一条弦均有伴随切线,并且伴随切线是唯一的。…… 11分
(ⅱ)取曲线C:,则曲线的任意一条弦均有伴随切线。
证明如下:设是曲线C上任意两点,
则,
又,
即曲线C:的任意一条弦均有伴随切线。
【解析】略
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【题目】已知数据x1,x2,x3,…,xn是普通职工n(n≥3,n∈N*)个人的年收入,设这n个数据的中位数为x,平均数为y,方差为z,如果再加上世界首富的年收入xn+1,则这n+1个数据中,下列说法正确的是
A. 年收入平均数大大增大,中位数一定变大,方差可能不变
B. 年收入平均数大大增大,中位数可能不变,方差变大
C. 年收入平均数大大增大,中位数可能不变,方差也不变
D. 年收入平均数可能不变,中位数可能不变,方差可能不变
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【题目】如图,正四棱锥 中底面边长为,侧棱PA与底面ABCD所成角的正切值为.
(I)求正四棱锥 的外接球半径;
(II)若 是 中点,求异面直线 与 所成角的正切值.
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥DC,△PAD是等边三角形,已知AD=4, ,AB=2CD=8.
(1)设M是PC上的一点,证明:平面MBD⊥平面PAD;
(2)当M点位于线段PC什么位置时,PA∥平面MBD?
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【题目】3名志愿者在10月1号至10月5号期间参加社区服务工作.
(1)若每名志愿者在这5天中任选一天参加社区服务工作,且各志愿者的选择互不影响,求3名志愿者恰好连续3天参加社区服务工作的概率;
(2)若每名志愿者在这5天中任选两天参加社区服务工作,且各志愿者的选择互不影响,记表示这3名志愿者在10月1号参加社区服务工作的人数,求随机变量的分布列.
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【题目】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元,该建筑物每年的能源消耗费用 (单位:万元)与隔热层厚度 (单位: )满足关系,若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(1)求的值及的表达式;
(2)隔热层修建多厚时,总费用达到最小,并求最小值。
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