Question

设a为实数，函数f（x）=2x²+（x-a）|x-a|
（1）若f（0）≥1，求a的取值范围；
（2）求f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）不等式即-a|-a|≥1，故有 a＜0，且a²≥1，解不等式组求a的取值范围．
（2）分类讨论，去掉绝对值，转化为二次函数的最小值问题，借助二次函数的对称轴及单调性．

解答：解：（1）若f（0）≥1，则：-a|-a|≥1?

a＜0 a2≥1

?a≤-1．
（2）当x≥a时，f（x）=3x²-2ax+a²，∴f(x)min=

f(a)，a≥0 f( a 3 )，a＜0

=

2a2，a≥0 2 3 a2，a＜0

，如图所示：

当x≤a时，f（x）=x²+2ax-a²，∴f(x)min=

f(-a)，a≥0 f(a)，a＜0

=

-2a2，a≥0 2a2，a＜0

．
 
综上所述：f(x)min=

-2a2，a≥0 2 3 a2  a＜0

．

点评：本题考查取绝对值的方法，二次函数在区间上的最小值的求法，体现了分类讨论、数形结合的数学思想．