Question

已知分别是x、y轴正方向的单位向量，点P（x，y）为曲线C上任意一点，且满足．
（1）求曲线C的方程．
（2）是否存在直线l，使得l与C交于不同两点M、N，且线段MN恰被直线平分？若存在求出l的倾斜角α的范围，若不存在说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把P（x，y）代入，且满足，根据抛物线的定义即可求得曲线C的方程；
（2）假设存在直线l满足题意，设出直线l的方程与曲线C联立，消去y，得到关于x的一元二次方程有两个不等实根，△＞0；利用韦达定理可得关于斜率的方程，即可求得斜率的范围，从而可求l的倾斜角α的范围．
解答：解：（1）设点A（-1，0），F（1，0）则由
知在方向上的射影等于的模．
故点P的轨迹是抛物线，且以F（1，0）为焦点以x=-1为准线．
所以C：y²=4x
（2）设存在，由题知l的斜率存在且设l为：y=kx+m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）则
由得：k²x²+（2km-4）x+m²=0①
△=（2km-4）²-4k²m²＞0得km＜1②
又③
由①③知：④
由②④得k＞1或k＜-1
∴
点评：考查向量的数量积和抛物线的定义，直线与圆锥曲线相交弦的中点问题，解题方法一般联立，消元，利用韦达定理，体现了方程的思想和转化的思想方法，属中档题．