已知定圆,动圆过点且与圆相切,记动圆圆
心的轨迹为.
(Ⅰ)求曲线的方程;
(Ⅱ)若点为曲线上任意一点,证明直线与曲线恒有且只有一个公共点.
解:(Ⅰ)由题知圆圆心为,半径为,设动圆的圆心为
半径为,,由,可知点在圆内,所以点的轨迹是以为焦点
的椭圆,设椭圆的方程为,由,得,
故曲线的方程为 ………………………6分
(Ⅱ)当时,由可得
当,时,直线的方程为,直线与曲线有且只有一个交点;
当,时,直线的方程为,直线与曲线有且只有一个交点.
当时得,代入,消去整理得:
--------------------------------① ………………9分
由点为曲线上一点,故.即
于是方程①可以化简为:
解得.将代入得,说明直线与曲线有且只有一个交点.
综上,不论点在何位置,直线:与曲线恒有且只有一个交点,交点即. ……………………………………………12分
【解析】略
科目:高中数学 来源: 题型:
(03年北京卷理)(13分)
已知动圆过定点P(1,0),且与定直线相切,点C在l上.
(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹M的方程;
(Ⅱ)设过点P,且斜率为-的直线与曲线M相交于A,B两点.
(i)问:△ABC能否为正三角形?若能,求点C的坐标;若不能,说明理由;
(ii)当△ABC为钝角三角形时,求这种点C的纵坐标的取值范围.
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科目:高中数学 来源:2011届贵州省五校高三第五次联考理科数学(暨遵义四中第13次月考) 题型:解答题
已知定圆,动圆过点且与圆相切,记动圆圆
心的轨迹为.
(Ⅰ)求曲线的方程;
(Ⅱ)若点为曲线上任意一点,证明直线与曲线恒有且只有一个公共点.
(Ⅲ)由(Ⅱ)你能否得到一个更一般的结论?并且对双曲线写出一个类似的结论(皆不必证明).
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科目:高中数学 来源:2011届贵州省五校高三第五次联考文科数学(暨遵义四中第13次月考) 题型:解答题
已知定圆,动圆过点且与圆相切,记动圆圆
心的轨迹为.
(Ⅰ)求曲线的方程;
(Ⅱ)若点为曲线上任意一点,证明直线与曲线恒有且只有一个公共点.
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科目:高中数学 来源:2010-2011学年贵州省第五校高三第五次联考理科数学(暨遵义四中13次月考) 题型:解答题
已知定圆,动圆过点且与圆相切,记动圆圆
心的轨迹为.
(Ⅰ)求曲线的方程;
(Ⅱ)若点为曲线上任意一点,证明直线与曲线恒有且只有一个公共点.
(Ⅲ)由(Ⅱ)你能否得到一个更一般的结论?并且对双曲线写出一个类似的结论(皆不必证明).
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