【题目】已知椭圆: 的离心率为,且椭圆过点,记椭圆的左、右顶点分别为,点是椭圆上异于的点,直线与直线分别交于点.
(1)求椭圆的方程;
(2)过点作椭圆的切线,记,且,求的值.
【答案】(1)椭圆的方程为 (2)
【解析】试题分析:
(1)由题意求得, , ,故椭圆的方程为.
(2)很明显直线的斜率存在,设出切线方程,联立直线与椭圆的方程,结合韦达定理得到关于实数 的不等式组,结合不等式组的性质和题意讨论可得.
试题解析:
(1)依题意, ,解得, , ,
故椭圆的方程为.
(2)依题意, , ,直线,
设,则.
直线的方程为,令,得点的纵坐标为;
直线的方程为,令,得点的纵坐标为;
由题知,椭圆在点处切线斜率存在,可设切线方程为,
由,得,
由,得,
整理得: ,
将, 代入上式并整理得,解得,
所以点处的切线方程为.
令得,点的纵坐标为,
设,所以,
所以,
所以,
将代入上式, ,因为,所以.
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【题目】某单位建造一间地面面积为12m2的背面靠墙的矩形小房子,由于地理位置的限制,房子侧面的长度x不得超过am.房屋正面的造价为400元/m2 , 房屋侧面的造价为150元/m2 , 屋顶和地面的造价费用合计为5800元,如果墙高为3m,且不计房屋背面的费用.当侧面的长度为多少时,总造价最低?
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【题目】海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100 个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg).其频率分布直方图如下:
(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记A表示事件:“旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖法的箱产量不低于50kg”,估计A的概率;
(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:
箱产量<50kg | 箱产量≥50kg | |
旧养殖法 | ||
新养殖法 |
(3)根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01).
附:,
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【题目】已知函数f(x)=sin(2x+ )+sin(2x﹣ )+2cos2x﹣1,x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)求函数f(x)在区间[ ]上的最大值和最小值.
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【题目】设函数,若对于在定义域内存在实数满足,则称函数为“局部奇函数”.若函数是定义在上的“局部奇函数”,则实数的取值范围是( )
A. [1﹣,1+) B. [﹣1,2] C. [﹣2,2] D. [﹣2,1﹣]
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