Question

2．命题p：关于x不等式x²-2x+a＞0恒成立，命题q：关于x的方程2sinx=a有解．若p且q为假命题，p或q为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 分别求出两个命题的为真命题的等价条件，利用复合命题真假之间的关系进行判断求解．

解答 解：若x不等式x²-2x+a＞0恒成立，则判别式△=4-4a＜0，得a＞1，
若2sinx=a，则sinx=$\frac{a}{2}$，
∵-1≤sinx≤1，∴-1≤$\frac{a}{2}$≤1
得-2≤a≤2，
若p且q为假命题，p或q为真命题，则p，q为一真一假，
若p真q假，则$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{a＞2或a＜-2}\end{array}\right.$得a＞2，
若p假q真，则$\left\{\begin{array}{l}{a≤1}\\{-2≤a≤2}\end{array}\right.$得-2≤a≤1，
综上实数a的取值范围是[-2，1]∪（2，+∞）．

点评 本题主要考查复合命题真假的应用，根据条件求出两个命题的为真命题的等价条件是解决本题的关键．