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    【题目】椭圆上一点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，AF⊥BF，∠ABF＝，，，则椭圆的离心率的取值范围为_______．

    【答案】

    【解析】

    设左焦点为F′，根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a，根据B和A关于原点对称可知|BF|=|AF′|，推知|AF|+|BF|=2a，又根据O是Rt△ABF的斜边中点可知|AB|=2c，在Rt△ABF中用a和c分别表示出|AF|和|BF|代入|AF|+|BF|=2a中即可表示出即离心率e，进而根据α的范围确定e的范围．

    ∵B和A关于原点对称，∴B也在椭圆上，设左焦点为F′

    根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a

    又∵|BF|=|AF′|∴|AF|+|BF|=2a …①

    O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|=2c

    又|AF|=2csinα …②

    |BF|=2ccosα …③

    ②③代入①2csinα+2ccosα=2a

    ∴=

    即e==

    ∵a∈[，]，∴≤α+≤

    ∴≤sin（α+）≤1 ∴≤e≤

    故答案为：[，]

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