设直线与双曲线
交于A、B,且以AB为直径的圆过原点,求点
的轨迹方程.
2y2-x2=1(x2<3).
解析试题分析:将直线与双曲线方程联立,消去y(或x),得到关于x的一元二次方程。由题意知方程有两根,故二次项系数不为0,且判别式大于0,解出a的范围,即所求轨迹方程的定义域。根据韦达定理得到两根之和,两根之积(整体计算比计算出两个根要简单)。根据且以AB为直径的圆过原点,可得直线AO和直线BO垂直,可利用斜率之积等于列式计算,但这种情况需对斜率存在与否进行讨论。为了省去讨论的麻烦可用向量问题来解决。详见解析。
试题解析:解:联立直线与双曲线方程得,消去y得:(a2-3)x2+2abx+b2+1=0.
∵直线与双曲线交于A、B两点,∴⇒a2<3.
设A(x1,y1),B(x2,y2)则x1+x2=,x1·x2=
.
由⊥
得x1x2+y1y2=0,又y1·y2=(ax1+b)(ax2+b)=a2x1x2+ab(x1+x2)+b2,
∴有+a2·
-
+b2=0.
化简得:a2-2b2=-1.故P点(a,b)的轨迹方程为2y2-x2=1(x2<3).
考点:直接法求轨迹方程
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知是抛物线
上的两个点,点
的坐标为
,直线
的斜率为k,
为坐标原点.
(Ⅰ)若抛物线的焦点在直线
的下方,求k的取值范围;
(Ⅱ)设C为W上一点,且,过
两点分别作W的切线,记两切线的交点为
,求
的最小值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆:
.
(1)椭圆的短轴端点分别为
(如图),直线
分别与椭圆
交于
两点,其中点
满足
,且
.
①证明直线与
轴交点的位置与
无关;
②若∆面积是∆
面积的5倍,求
的值;
(2)若圆:
.
是过点
的两条互相垂直的直线,其中
交圆
于
、
两点,
交椭圆
于另一点
.求
面积取最大值时直线
的方程.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知双曲线方程2x2-y2=2.
(1)求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程;
(2)过点(1,1)能否作直线l,使l与双曲线交于Q1,Q2两点,且Q1,Q2两点的中点为(1,1)?如果存在,求出它的方程;如果不存在,说明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,已知椭圆的长轴为AB,过点B的直线
与
轴垂直,椭圆的离心率,F为椭圆的左焦点,且
(1)求此椭圆的标准方程;
(2)设P是此椭圆上异于A,B的任意一点, 轴,H为垂足,延长HP到点Q,使得HP=PQ,连接AQ并延长交直线
于点
,
为
的中点,判定直线
与以
为直径的圆O位置关系。
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆的左右两焦点分别为
,
是椭圆上一点,且在
轴上方,
.
(1)求椭圆的离心率的取值范围;
(2)当取最大值时,过
的圆
的截
轴的线段长为6,求椭圆的方程;
(3)在(2)的条件下,过椭圆右准线上任一点
引圆
的两条切线,切点分别为
.试探究直线
是否过定点?若过定点,请求出该定点;否则,请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
如图,斜率为的直线过抛物线
的焦点,与抛物线交于两点A、B, M为抛物线弧AB上的动点.
(Ⅰ)若,求抛物线的方程;
(Ⅱ)求△ABM面积的最大值.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com