Question

【题目】已知， 为抛物线上的两个动点，其中，且

（1）求证：线段的垂直平分线恒过定点，并求出点坐标；

（2）求面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）恒过定点；（2）面积的最大值.

【解析】试题分析：（1）由抛物线的对称性可知定点一定在轴上，设，由，可得，所以恒过定点；（2）直线方程： ，代入

得，根据根据韦达定理，弦长公式将面积用表示，换元后，利用导数研究函数的单调性，从而可得结果.

试题解析：（1）由抛物线的对称性可知定点一定在轴上，设，

设中点为

则，

由，可得，所以恒过定点；

（2）直线方程： ，代入

得

由韦达定理知

点到直线的距离：

令，因为，所以

则，

可知， ， ， 为增函数；

， ， 为减函数．

所以： ，

所以面积的最大值．

【方法点晴】本题主要考查抛物线的方程与性质及直线与抛物线的位置关系以及曲线过定点问题，属于难题.解决曲线过定点问题一般有两种方法：① 探索曲线过定点时，可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点，或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标.② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.