【题目】设、、为集合的任意三个元子集,且,.问:是否存在,,,使得其中某两个数的和等于第三个数?
【答案】见解析
【解析】
用反证法证明:存在,,,使其中某两个数的和等于第三个数.
假设存在某种分拆,,,
使得、、三个元集中不存在这样的三个元素.
记,,,
其中,,,.
设,则,,而.
考虑集合,记.
则为正整数.
(1)若,则,矛盾.
(2)若,考虑个数.
对每个,显然.
又若存在某个,则与,,,矛盾.
于是,所有的,而,
此时,集合中至少有个元素,也得矛盾.
(3)若,在数列中,自左至右设最先取到的项为.
考虑数与,其显然均在 集合中.
由于,而、分 别为集合、的元素,故由假设知.
又据,知,而,由假设知.
因此,只有.
再由,得;由,得.
因此,只有.
由于集合中的两个元素与的差为,
故它们为集合中相邻的两个元素,并且它们分别小于及.
因此,在集合中应当排在先前的一对 元素、之前,
这与、为集合中 最先使得其差为的项的假设矛盾.
于是,结论得证.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率为,短轴长为2.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)设P为椭圆上顶点,点A是椭圆C上异于顶点的任意一点,直线交x轴于点M,点B与点A关于x轴对称,直线交x轴于点N.问:在y轴的正半轴上是否存在点Q,使得?若存在,求点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,∠BAC=90°,AC=AB=AA1,E是BC的中点.
(1)求证:AE⊥B1C;
(2)求异面直线AE与A1C所成的角的大小;
(3)若G为C1C中点,求二面角C-AG-E的正切值.
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【题目】若四面体的三组对棱分别相等,即,,,给出下列结论:
①四面体每组对棱相互垂直;
②四面体每个面的面积相等;
③从四面体每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于而小于;
④连接四面体每组对棱中点的线段相互垂直平分;
⑤从四面体每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长.
其中正确结论的个数是( )
A.2个B.3个C.4个D.5个
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【题目】写出下面平面几何中的常见结论在立体几何中也成立的所有序号______.
①四边形内角和为;
②垂直的两条直线必相交;
③垂直同一条直线的两条直线平行;
④平行同一条直线的两条直线平行;
⑤四边相等的四边形,其对角线垂直;
⑥到三角形三边距离相等的点是这个三角形的内心;
⑦到一个角的两边距离相等的点必在这个角的角平分线上;
⑧在平面几何中有“一组平行线(至少3条)被两条直线所截得的对应线段成比例”的结论,则这一结论可推广到立体几何中“一组平行平面(至少3个)被两条直线所截得的对应线段也成比例.”
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【题目】如图所示,矩形ABCD中,AD⊥平面ABE,AE=EB=BC=2,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.
(1)求证:AE⊥平面BCE;
(2)求证:AE∥平面BFD;
(3)求三棱锥C-BGF的体积.
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【题目】下表提供了某厂经过节能降耗技术改进后生产甲产品x吨与相应的生产耗能y吨间的几组数据
(1)试画出此表中数据对应的散点图 ;
(2)若变量y与x线性相关 ,试求出线性回归方程y = b x + a ;
(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产耗能为90吨标准煤 ,试根据(2)求出的线性回归方程 ,预测生产100吨甲产品的生产耗能比技改前降低多少吨标准煤?
(参考公式,)
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【题目】五一放假期间高速公路免费是让实惠给老百姓,但也容易造成交通堵塞.在某高速公路上的某时间段内车流量(单位:千辆/小时)与汽车的平均速度(单位:千米/小时)之间满足的函数关系(为常数),当汽车的平均速度为千米/小时时,车流量为千辆/小时.
(1)在该时间段内,当汽车的平均速度为多少时车流量达到最大值?
(2)为保证在该时间段内车流量至少为千辆/小时,则汽车的平均速度应控制在什么范围内?
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【题目】某大型超市在2018年元旦举办了一次抽奖活动,抽奖箱里放有2个红球,1个黄球和1个蓝球(这些小球除颜色外大小形状完全相同),从中随机一次性取2个小球,每位顾客每次抽完奖后将球放回抽奖箱.活动另附说明如下:
①凡购物满100(含100)元者,凭购物打印凭条可获得一次抽奖机会;
②凡购物满188(含188)元者,凭购物打印凭条可获得两次抽奖机会;
③若取得的2个小球都是红球,则该顾客中得一等奖,奖金是一个10元的红包;
④若取得的2个小球都不是红球,则该顾客中得二等奖,奖金是一个5元的红包;
⑤若取得的2个小球只有1个红球,则该顾客中得三等奖,奖金是一个2元的红包.
抽奖活动的组织者记录了该超市前20位顾客的购物消费数据(单位:元),绘制得到如图所示的茎叶图.
(1)求这20位顾客中获得抽奖机会的人数与抽奖总次数(假定每位获得抽奖机会的顾客都会去抽奖);
(2)求这20位顾客中奖得抽奖机会的顾客的购物消费数据的中位数与平均数(结果精确到整数部分);
(3)分别求在一次抽奖中获得红包奖金10元,5元,2元的概率.
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