Question

12．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=4+4sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．
（1）以原点O为极点，x轴正方向为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；
（2）直线l的极坐标方程为θ=$\frac{π}{6}$，若直线l与圆C交于A、B两点，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）先运用同角的平方关系，求出圆C的普通方程，再根据公式x=ρcosθ，y=ρsinθ求出极坐标方程；
（2）先求出直线l的普通方程，再求出直线l到圆心的距离，最后利用弦长公式求出|AB|．

解答 解：（1）由圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=4cosθ}\\{y=4+4sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）．
由sin²θ+cos²θ=1，可得圆C的普通方程为：x²+（y-4）²=16；
故圆C的极坐标方程为：ρ²cos²θ+（ρsinθ-4）²=16，即ρ=8sinθ．
（2）直线l的普通方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
圆心（0，4）到直线l的距离d=$\frac{|\sqrt{3}×0-3×4|}{\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{3}^{2}}}=2\sqrt{3}$．
可得|AB|=2$\sqrt{16-{d}^{2}}$=2$\sqrt{16-12}$=4．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程，以及直角坐标方程和极坐标方程的互化，考查基本公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，同时考查直线和圆相交的弦长公式，属于中档题．