Question

【题目】已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．
（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；
（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=2时，f（x）=|2x﹣2|+2，

∵f（x）≤6，∴|2x﹣2|+2≤6，

|2x﹣2|≤4，|x﹣1|≤2，

∴﹣2≤x﹣1≤2，

解得﹣1≤x≤3，

∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}

（2）解：∵g（x）=|2x﹣1|，

∴f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，

2|x﹣ |+2|x﹣ |+a≥3，

|x﹣ |+|x﹣ |≥ ，

当a≥3时，成立，

当a＜3时，|x﹣ |+|x﹣ |≥ |a﹣1|≥ ＞0，

∴（a﹣1）2≥（3﹣a）2，

解得2≤a＜3，

∴a的取值范围是[2，+∞）

【解析】（1）当a=2时，由已知得|2x﹣2|+2≤6，由此能求出不等式f（x）≤6的解集．（2）由f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，得|x﹣ |+|x﹣ |≥ ，由此能求出a的取值范围．
【考点精析】本题主要考查了绝对值不等式的解法的相关知识点，需要掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号才能正确解答此题．