Question

已知点M是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一点，F₁，F₂分别为C的左右焦点，|F₁F₂|=2，∠F₁MF₂=60°，△F₁MF₂的面积为

3

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设过椭圆右焦点F₂的直线l和椭圆交于两点A，B，且

AF2

=2

F2B

，求直线l的方程．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用△F₁MF₂的面积为

3

，求出|MF₁|•|MF₂|=4，再利用余弦定理，求出a，即可求出b，从而可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l的方程是x=my+1，由

x2 4 + y2 3 =1 x=my+1

消x并整理，利用韦达定理，结合

AF

=2

FB

，求出m，即可求直线l的方程．

解答： 解：（Ⅰ）由条件得

3

=

1

2

|MF₁|•|MF₂|•sin60°，所以|MF₁|•|MF₂|=4-----（2分）
在△MF₁F₂中，由余弦定理得：|F₁F₂|²=|MF₁|²+|MF₂|²-2|MF₁||MF₂|•cos60°
所以4=（|MF₁|+MF₂||）²-3|MF₁|•|MF₂|，------------------------------（4分）
即4a²=16，a²=4，b²=a²-c²=3
所以椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1------------------（6分）
（Ⅱ）设直线l的方程是x=my+1
由

x2 4 + y2 3 =1 x=my+1

消x并整理得（4+3m²）y²+6my-9=0------------------（8分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=-

6m

4+3m2

 ①，y₁y₂=

-9

4+3m2

②-------（10分）
因为

AF

=2

FB

  得y₁=-2y₂③，由①②③解得m²=

4

5

，
因此存在直线l：x=±

2 5

5

x+1使得

AF

=2

FB

--------------------（12分）

点评：本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识，考查学生的计算能力，属于中档题．