Question

关于二次函数学生甲有以下观点：①二次函数必有最大值；②二次函数必有最小值；③闭区间上的二次函数必定同时存在最大值，最小值；④对于命题③，最值一定在区间端点取得．你认为学生甲正确的观点序号是 ________．根据你的判断试解决下述问题：已知函数f（x）=ax²+（2a-1）x+1在上的最大值为3，求实数a的值．

Answer 1

③
分析：（1）若函数存在不连续点，则在某个区间了可能不存在最大值最小值，故①②不正确，而④的情况若包含对称轴，则最值不一定在区间端点取得，故④错，③正确．
（2）首先要讨论a的取值情况．当a=0时，f（x）为单减的一次函数，易得a的值；当a≠0时，考虑对称轴的问题，分情况计算，即可得到答案．
解答：（1）③（2分）
（2）当a=0时，f（x）=-x+1在上的最大值为
不合题意，舍去；（3分）
当a≠0时，
①令得，此时抛物线开口向下，对称轴x=-2，
且，故不合题意，舍去；（6分）
②令f（2）=3，得，此时抛物线开口向上，
闭区间的右端点距离对称轴较远，故符合题意；（9分）
③若得经检验符合题意，（12分）
综上可知：实数a的值为或（13分）
点评：此题主要考查二次函数的单调性和相关性质．