Question

已知a、b为异面直线，则：

(1)经过直线a，存在唯一平面α，使b∥α；

(2)经过直线a，若存在平面α，使b⊥a，则α唯一；

(3）经过直线a、b外任意一点，存在平面α，使a∥α且b∥α.

上述命题中，真命题的个数为(    )

A.0个          B.1个            C.2个              D．3个

Answer 1

C 

解析：本题考查空间想象能力和抽象的理论推理能力；(1)正确；可反证假设经过直线a可以作两个平面α,β，使得b∥α，b∥β则经过直线b作一平面交平面α、β于c、d，由线面平行的性质定理可知b∥c∥d(且三线在同一平面内)，又由于直线a与直线b为异面直线，故直线c、d必与直线a相交，设直线a∩c=A，a∩d=B，则直线a在由三线b，c，d所确定的平面内，这与a，b两异面相矛盾，故假设错误，原命题正确；对选项(2)当且仅当两异面直线互相垂直时，这样的平面存在且唯一，这是因为假设符合条件的平面有两个都垂直于直线b，则必有两平面平行，这与两平面都经过直线a相矛盾，故若存在则有且只有一个；对选项(3)错误，可举反例如当空间一点A与异面直线中的直线a所在的平面恰与直线b平行时，此时不存在平面α与两异面直线平行．