设函数,是定义域为R上的奇函数.
(1)求的值,并证明当时,函数是R上的增函数;
(2)已知,函数,,求的值域;
(3)若,试问是否存在正整数,使得对恒成立?若存在,请求出所有的正整数;若不存在,请说明理由.
(1)如下(2)(3)存在正整数=3或4
【解析】
试题分析:解:(1)是定义域为R上的奇函数,,得.
此时,,,即是R上的奇函数.
设,则,
,,,在R上为增函数.
(2),即,或(舍去),
令,由(1)知在[1,2]上为增函数,∴,
,
当时,有最大值;当时,有最小值,
∴的值域.
(3)=,,
假设存在满足条件的正整数,则,
①当时,.
②当时,,则,令,则,易证在上是增函数,∴.
③当时,,则,令,则,易证在上是减函数,∴.
综上所述,,∵是正整数,∴=3或4.
∴存在正整数=3或4,使得对恒成立.
考点:函数的单调性
点评:本题难度较大。函数的单调性对求最值、判断函数值大小关系和证明不等式都有较大帮助,而求函数的单调性有时可以结合导数来求。
科目:高中数学 来源:2012年人教A版高中数学必修四1.4三角函数的图像与性质练习卷(二)(解析版) 题型:选择题
设f(x)是定义域为R,最小正周期为的函数,若f(x)=,则f
的值等于( )
A.1 B.
C.0 D.-.
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科目:高中数学 来源:2010年吉林省高二下学期期末测试理科数学 题型:选择题
设函数f()的定义域为R,若存在与无关的正常数M,使对一切实数均成立,则称f()为“有界泛函”,给出以下函数:
①f()= ②f()=2, ③ ④其中是“有界泛函”的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
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科目:高中数学 来源: 题型:
设函数f()的定义域为R,若存在与无关的正常数,使对一切实数均成立,则称f()为“有界泛函”,给出以下函数:
|
其中是“有界泛函”的个数为( )
A. 1 B. 2 C .3 D.4
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