Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a-c）cosB=b-cosC．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设=（sinA，cos2A），=（4k，1）（k＞1），且的最大值是5，求k的值．

Answer 1

解：（I）∵（2a-c）cosB=bcosC，∴（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）．∵A+B+C=π，∴2sinAcosB=sinA，
∵0＜A＜π，∴sinA≠0．∴cosB=，∵0＜B＜π，∴B=．
（II）=4ksinA+cos2A=-2sin²A+4ksinA+1，A∈（0， ），
设sinA=t，则t∈（0，1]． 则=-2t²+4kt+1=-2（t-k）²+1+2k²，t∈（0，1]．
∵k＞1，∴t=1时，取最大值． 依题意得，-2+4k+1=5，∴k=．
分析：（I）由正弦定理可得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，化简可得2sinAcosB=sinA，cosB=，从而B=．
（II）化简，设sinA=t，则t∈（0，1]，则=-2t²+4kt+1=-2（t-k）²+1+2k²，t∈（0，1]．
根据二次函数的性质可得t=1时，取最大值，求得k值．
点评：本题考查正弦定理的应用，两个向量的数量积公式，二次函数的性质，判断 sinA=t∈（0，1]是解题的难点．