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已知F(1,0),P是平面上一动点,P到直线l:x=-1上的射影为点N,且满足(
PN
+
1
2
NF
)•
NF
=0

(Ⅰ)求点P的轨迹C的方程;
(Ⅱ)过点M(1,2)作曲线C的两条弦MD,ME,且MD,ME所在直线的斜率为k1,k2,满足k1k2=1,
求证:直线DE过定点,并求出这个定点.
分析:(1)设曲线C上任意一点P(x,y),又F(1,0),N(-1,y),从而
PN
=(-1-x,0)
NF
=(2,-y)
,由此能得到所求的P点的轨迹C的方程.
(2)由题意可知直线DE的斜率存在且不为零,可设DE的方程为x=my+a,并设D(x1,y1),E(x2,y2).联立:
y2=4x
x=my+a
,代入整理得y2-4my-4a=0,再由韦达定理进行求解.
解答:解:(1)设曲线C上任意一点P(x,y),又F(1,0),N(-1,y),从而
PN
=(-1-x,0)
NF
=(2,-y)
PN
+
1
2
NF
=(-x,-
1
2
y)
(
PN
+
1
2
NF
)•
NF
=0?-2x+
1
2
y2=0

化简得y2=4x,即为所求的P点的轨迹C的对应的方程.
(2)由题意可知直线DE的斜率存在且不为零,可设DE的方程为x=my+a,
并设D(x1,y1),E(x2,y2).联立:
y2=4x
x=my+a

代入整理得y2-4my-4a=0从而有y1+y2=4m①,y1y2=-4a②
k1k2=1?
y1-2
x1-1
y2-2
x2-1
=1
,又y12=4x1,y22=4x2,∴k1k2=1?
y1-2
y
2
1
4
-1
y2-2
y
2
2
4
-1
=1

?
16
(y1+2)(y2+2)
=1?(y1+2)(y2+2)=16,展开即得y1y2+2(y1+y2)-12=0
将①②代入得-4a+2×4m-12=0,即a=2m-3,得,DE:x=my+2m-3,
即(x+3)=m(y+2),故直线DE经过(-3,-2)这个定点.
点评:本题考查点的轨迹方程的求法和证明直线DE过定点,并求出这个定点.解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件.
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+
1
2
NF
)•
NF
=0

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(Ⅱ)过点M(1,2)作曲线C的两条弦MA,MB,设MA,MB所在直线的斜率分别为k1,k2,当k1,k2变化且满足k1+k2=-1时,证明直线AB恒过定点,并求出该定点坐标.

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+
1
2
NF
)•
NF
=0

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