Question

已知圆C：x²+y²-4x-6y+12=0
（1）求过点A（1，5）的圆C的切线方程；
（2）求在两坐标轴上截距之和为0，且截圆C所得弦长为2的直线方程．

Answer 1

分析：（1）求过点A（1，5）的圆C的切线方程，分两种情况，一是斜率存在，用圆心到直线的距离等于半径求解；一是斜率不存在，直接验证即可；
（2）在两坐标轴上截距之和为0，设出两种情况的直线方程，利用弦长、半径求出弦心距，圆心到直线的距离公式，可解直线方程．

解答：解：（1）已知圆 C：（x-2）²+（y-3）²=1
若直线斜率不存在，x=1适合题意（2分）
若直线斜率存在，设切线l的方程为 y-5=k（x-1），kx-y+5-k=0
由题意可知圆心（2，3）到l的距离为d=

|2k-3-k+5|

k2+1

=1，
解得k=

3

4

（4分）
故所求直线方程为x=1或y=-

3

4

x+

23

4

（2分）
（2）由题意可设所求直线为y=kx或

x

a

-

y

b

=1且过圆心
当直线为y=kx过圆心（2，3），则所求直线为y=

3

2

x（2分）
当直线为

x

a

-

y

b

=1过圆心（2，3），则所求直线为x-y+1=0（2分）
故所求直线方程为y=

3

2

x或x-y+1=0（2分）

点评：本题考查直线与圆相切，直线方程的求法，考查学生发现问题解决问题的能力，是基础题．